数学

数学笔记

Posted by jiang on July 11, 2018

高等数学

函数 极限 连续

函数

  • 定义
  • 重要性质 定理 公式
  • 求分段函数的复合函数
  • 关于函数有界无界的讨论

极限

  • 定义
  • 重要性质 定理 公式
  • 计算极限的一些有关方法
  • 求函数极限
  • 已知极限值求其中某些参数,或已知极限,求另一与此有关的某极限
  • 含有 x ,e^(1/x)在x->0时的极限,含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限
  • 无穷小比较
  • 数列的极限
  • 极限运算定理的正确应用

连续

  • 定义
  • 重要性质 定理 公式
  • 讨论函数的连续与间断
  • 在连续条件下求参数
  • 讨论由极限定义的函数的连续性或间断的类型

一元函数微分学

导数与微分,导数计算

  • 定义
  • 重要性质 定理 公式
  • 按定义求一点处的导数
  • 已知f(x)在某点处x=x0处可导,求与此有关的某极限或参与其中某参数,或已知某极限求f(x)在x=x0处的导数
  • 绝对值函数的导数
  • 由极限式表示的函数的可导性
  • 导数与微分,增量的关系
  • 求导数的计算题

导数应用

  • 定义
  • 重要性质 定理 公式 方法
  • 增减性 极值 凹凸性 拐点的讨论
  • 渐近线
  • 曲率与曲率圆
  • 最大值与最小值问题

中值定理 不等式与零点问题

  • 重要定理
  • 重要方法
  • 不等式的证明
  • f(x)的零点与f’(x)的零点问题
  • 复合函数g(x,f(x),f’(x))的零点
  • 复合函数g(x,f(x),f’(x),f’‘(x))的零点
  • 零点个数问题
  • 证明存在某个x0满足某个不等式
  • 利用中值定理求极限,f’(x)与f(x)的一些极限性质的关系

一元函数积分学

不定积分与积分的概念、性质、理论

  • 定义
  • 重要性质、定理、公式
  • 分段函数的不定积分与定积分
  • 定积分与原函数的存在性
  • 奇偶函数,周期函数的原函数及其变限积分

不定积分与定积分的计算

  • 基本积分公式
  • 基本积分方法
  • 简单有理分式的积分
  • 三角函数的有理分式的积分
  • 简单无理式的积分
  • 两种不同类型的函数相乘积分
  • 被积函数中含有导数或者变限函数的积分
  • 对称区间上的定积分,周期函数的定积分
  • 含参变量带绝对值号的定积分
  • 积分计算杂例

反常积分及其计算与判敛

  • 定义
  • 重要性质、定理、公式
  • 反常积分的计算与通过计算获知反常积分的收敛性
  • 反常积分收敛、发散的判别

定积分应用

  • 基本方法
  • 重要几何公式与物理应用
  • 几何应用
  • 物理应用

定积分的证明题

  • 讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性
  • 有积分定义的函数求极限
  • 积分不等式的证明
  • 零点问题

向量代数与空间解析几何

向量代数

  • 与向量有关的基本概念
  • 向量的运算及性质
  • 向量的运算
  • 向量运算的应用及向量的位置关系

平面与直线

  • 平面方程
  • 直线方程
  • 平面与直线间的位置关系
  • 建立平面方程
  • 建立直线方程
  • 与平面和直线的位置关系有关的问题

空间曲线与曲面

  • 旋转面及其方程
  • 柱面及其方程
  • 常见的二次曲线及图形
  • 空间曲线及其方程
  • 空间曲线的投影
  • 建立柱面方程
  • 建立旋转面方程
  • 建立空间曲线的投影曲线方程

多元函数微分学

多元函数的极限、连续、偏导数与全微分

  • 多元函数
  • 二元函数的极限与连续
  • 二元函数的偏导数与全微分
  • 讨论二重极限
  • 讨论二元函数的连续性、偏导数存在性
  • 讨论二元函数的可微性

多元函数的微分法

  • 复合函数的偏导数与全微分
  • 隐函数的偏导数与全微分
  • 求复合函数的偏导数与全微分
  • 求隐函数的偏导数与全微分

极值与最值

  • 无条件极值
  • 条件极值
  • 无条件极值问题
  • 条件极值问题
  • 多元函数的最值问题

方向导数与梯度 多元微分在几何上的应用 泰勒定理

  • 方向导数
  • 梯度
  • 曲面的切平面与法线
  • 曲线的切线和法平面
  • 泰勒定理
  • 有关方向导数与梯度
  • 有关曲面的切平面和曲线的切线
  • 泰勒定理

多元函数积分学

重积分

  • 二重积分
  • 三重积分
  • 计算二重积分
  • 累次积分交换次序及运算
  • 与二重积分有关的综合题
  • 与二重积分有关的积分不等式问题
  • 计算三重积分
  • 三重积分的累次积分

曲线积分

  • 对弧长的线积分 第一类线积分
  • 对坐标的线积分 第二类线积分

曲面积分

  • 对面积的面积分 第一类面积分
  • 对坐标的面积分 第二类面积分

场论初步

  • 梯度
  • 通量
  • 散度
  • 旋度

多元积分的应用

  • 几何应用
  • 求物理量

无穷级数

常数项级数

  • 级数的概念与性质
  • 级数的判敛准则
  • 正项级数敛散性的判定
  • 交错级数敛散性的判定
  • 任意项级数敛散性判定
  • 有关常数项级数的证明题与综合题

幂级数

  • 函数项级数及收敛域与和函数
  • 幂级数的收敛半径,收敛区间及收敛域
  • 幂级数的性质
  • 函数的幂级数展开
  • 求幂级数的收敛域
  • 将函数展开为幂级数
  • 级数求和

傅里叶级数

  • 三角函数及其正交性
  • 傅里叶级数
  • 收敛性定理
  • 周期为2π的函数的傅里叶级数展开
  • 周期为2l的函数的傅里叶级数展开
  • 有关收敛定理的问题
  • 将函数展开为傅里叶级数

常微分方程

常微分方程

  • 常微分方程的基本概念
  • 常见的几类的一阶方程及解法
  • 可降阶的高阶微分方程
  • 高阶线性方程
  • 微分方程求解
  • 微分方程综合题
  • 微分方程的应用

线性代数

行列式

行列式

  • 数字型行列式的计算
  • 抽象型行列式的计算
  • 行列式 A 是否为零的判定
  • 关于代数余子式求和

矩阵

矩阵的概念和运算

  • 矩阵的概念
  • 矩阵的运算
  • 运算规则
  • 特殊矩阵

伴随矩阵 可逆矩阵

  • 伴随矩阵 可逆矩阵的概念
  • 伴随矩阵重要公式
  • n阶矩阵A可逆的充分必要条件
  • 逆矩阵的运算性质
  • 求逆矩阵的方法

初等变换、初等矩阵

  • 定义
  • 初等矩阵与初等变换的性质

矩阵的秩

  • 概念
  • 公式

分块矩阵

  • 概念
  • 运算
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6
矩阵的概念及运算
特殊方阵的幂
伴随矩阵的相关问题
可逆矩阵的相关问题
初等变换 初等矩阵
矩阵的秩

向量

n维向量的概念与运算

线性表出 线性相关

  • 线性表出的概念
  • 线性相关、线性无关的概念

极大线性无关组、秩

  • 极大线性无关组、向量组秩的概念
  • 有关秩的定理

Schmidt正交化 正交矩阵

  • Schmidt正交化
  • 正交矩阵

向量空间

  • 概念
  • 主要定理
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4
5
6
1.线性相关性判别
2.向量的线性表示
3.线性相关与线性无关的证明
4.秩与极大线性无关组
5.正交化、正交矩阵
6.向量空间

线性方程组

克拉默法则

齐次线性方程组

非齐次线性方程组

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7
1.线性方程组的基本概念题
2.线性方程组的求解
3.基础解系
4.Ax=0的系数矩阵A的行向量和解向量的关系,由Ax=0的基础解系反求A
5.线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系
6.两个方程组的公共解
7.同解方程组

特征值 特征向量 相似矩阵

特征值 特征向量

相似矩阵 矩阵的相似对角化

  • 相似矩阵
  • 矩阵可相似对角化的充分必要条件
  • 相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件

实对称矩阵的相似对角化

  • 实对称矩阵
  • 实对称矩阵的特征值 特征向量 及相似对角化
  • 实对称矩阵正交相似与对角阵的步骤
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1.特征值 特征向量的求法
2.两个矩阵有相同的特征值的证明
3.关于特征向量
4.矩阵是否相似于对角阵的判别
5.利用特征值 特征向量及相似矩阵确定参数
6.特征值 特征向量反求A
7.矩阵相似及相似标准型
8.相似对角阵的应用

二次型

二次型的概念 矩阵表示

  • 二次型的概念
  • 矩阵表示

化二次型为标准型 规范型 合同二次型

  • 二次型的标准型 规范型
  • 化二次型为标准型 规范型
  • 合同矩阵 合同二次型

正定二次型 正定矩阵

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- 二次型的矩阵表示
- 化二次型为标准型
- 合同矩阵 合同二次型
- 正定性的判别与证明
- 二次型的应用

概率论与数理统计

随机事件和概率

  • 事件 样本空间 事件间的关系与运算
  • 概率 条件概率 独立性和五大公式
  • 古典概型与伯努利概型

随机变量及其概率分布

  • 随机变量及其分布函数
  • 离散型随机变量和连续性随机变量
  • 常用分布
  • 随机变量函数的分布

多维随机变量 及其分布

  • 二维随机变量及其分布
  • 随机变量的独立性
  • 二维均匀分布和二维正态分布
  • 两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布

随机变量的数字特征

  • 随便变量的数学期望和方法
  • 矩、协方差和相关系数

大数定理和中心极限定理

数理统计的基本概念

  • 总体 样本 统计量 样本数字特征
  • 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布

参数估计

  • 点估计
  • 估计量的求法和区间估计

假设检验