数学分析

笔记

Posted by jiang on October 27, 2019

实数集与函数

实数

实数及其性质
绝对值与不等式

数集 确界原理

区间与邻域
有界集 确界原理

函数概念

函数的定义
函数的表示法
函数的四则运算
复合函数
反函数
初等函数

具有某些特性的函数

有界函数
单调函数
奇函数和偶函数
周期函数

数列极限

数列极限概念

收敛数列的性质

数列极限存在的条件

函数极限

函数极限的概念

x趋于x0时的函数极限
x趋于无穷时的函数极限

函数极限的性质

函数极限存在的条件

两个重要极限

无穷小量与无穷大量

无穷小量
无穷小量阶的比较
无穷大量
曲线的渐近线

函数的连续性

连续性概念

函数在一点的连续性
间断点及其分类
区间上的连续函数

连续函数的性质

连续函数的局部性质
闭区间上连续函数的基本性质
反函数的连续性
一致连续性

初等函数的连续性

指数函数的连续性
初等函数的连续性

导数和微分

导数的概念

导数的定义
导函数
导数的几何意义

求导法则

导数的四则运算
反函数的导数
复合函数的导数
基本求导法则与公式

参变函数的导数

高阶导数

微分

微分的概念
微分的运算法则
高阶微分
微分在近似计算中的应用

微分中值定理及其应用

拉格朗日定理和函数的单调性

罗尔定理与拉格朗日定理
单调函数

柯西中值定理和不定式极限

柯西中值定理
不定式极限

泰勒公式

带有佩亚诺余型的泰勒公式
带有拉格朗日余型的泰勒公式
在近似计算上的应用

函数的极值与最大小值

极值判别
最大值与最小值

函数的凸性与拐点

函数图像的讨论

方程的近似解

实数的完备性

关于实数集完备性的基本定理

区间套定理
据点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本定理之间的等价性

上极限与下极限

不定积分

不定积分概念与基本积分公式

原函数与不定积分
基本积分表

换元积分法与分部积分法

换元积分法
分部积分法

有理函数和可化为有理函数的不定积分

有理函数的不定积分
三角函数有理式的不定积分
某些无理根式的不定积分

定积分

定积分概念

问题提出
定积分定义

可积条件

可积的必要条件
可积的充分条件
可积函数类

定积分的性质

定积分的基本性质
积分中值定理

微积分学基本定理·定积分计算

变限积分与原函数的存在性
换元积分法与分部积分法
泰勒公式的积分型余项

可积性理论补叙

上和与下和的性质
可积的充要条件

定积分的应用

平面图形的面积

由平行截面面积求体积

平面曲线的弧长与曲率

平面曲线的弧长
曲率

旋转曲面的面积

微元法
旋转曲面的面积

定积分在物理中的某些应用

液体静压力
引力
功与平均功率

定积分的近似计算

梯形法
抛物线法

反常积分

反常积分概念

问题提出
两类反常积分的定义

无穷积分的性质与收敛判别

无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法
一般无穷积分的收敛判别法

瑕积分的性质与收敛判别